Родился в семье Анатолия Евсеевича Минкова и Фаины Михайловны Лигорнер. В 1960 году Минков поступил в музыкальное училище при консерватории, одновременно продолжая заниматься у Сидельникова. Окончив училище в 1964 году, Минков стал студентом консерватории (класс Арама Хачатуряна). Окончив в 1969 году консерваторию, Марк Минков подал заявление о вступлении в Союз композиторов СССР, куда и вступил через год, так исполнив ряд своих произведений (это было необходимой процедурой), что восхищённый Вано Мурадели расцеловал Минкова. В том же, 1970 году поступило приглашение написать музыку для многосерийного телефильма «Следствие ведут знатоки». В начале 1970-х годов Минков написал вокальный цикл «Плач гитары» на стихи Федерико Гарсиа Лорки, который исполнила Зара Долуханова. После успеха в сериале «Следствие ведут знатоки» к Минкову стало приходить множество предложений написать музыку для фильмов или спектаклей. Он был композитором спектакля Театра имени А. С. Пушкина «Мужчины, носите мужские шляпы», в котором одна из актрис исполнила его песню «Не отрекаются любя» на стихи Вероники Тушновой. Затем Минков предложил песню Алле Пугачёвой, в чьём исполнении та стала популярной и не забыта до сих пор. (В 2008 году вышел фильм с таким названием, где главную мужскую роль сыграл Александр Домогаров; сама песня там не звучала, а Минков не участвовал в работе над фильмом). Из музыки для спектакля Центрального детского театра возникла песня «Эти летние дожди» на стихи С. И. Кирсанова, также ставшая популярной в исполнении Пугачёвой. Сотрудничество композитора с известной певицей продолжалось и дальше («Ты на свете есть» на стихи Л. П. Дербенёва, «Монолог» на стихи М. И. Цветаевой[3], «На дороге ожиданья» на стихи Ю. С. Энтина, «А знаешь, всё ещё будет» на стихи Тушновой).
В фильме «Приказ: огонь не открывать» прозвучала ставшая популярной в исполнении Валентины Толкуновой (в фильме спетая Жанной Рождественской) песня Марка Минкова на стихи Игоря Шаферана «Если б не было войны». Помимо песен, Минков писал концерты для фортепиано и струнные концерты, он — автор мюзиклов «Робин Гуд» (1980) и «Мустафа» (1983). Для Валентины Толкуновой Минков написал песни «Деревянные лошадки», «Где ты, гармонь певучая» и другие.
В 1982 году Минков закончил балет «Разбойники» по мотивам одноимённой пьесы Фридриха Шиллера. Балет поставил в Ленинградском малом оперном театре Николай Боярчиков, бывший также автором либретто. В конце 1980-х годов Марк Минков написал ещё одну оперу для театра Наталии Сац — «Не буду просить прощения».
В 1992 году Минков написал совместно с поэтом Юрием Рыбчинским оперу «Белая гвардия», которая не была поставлена. Минков сотрудничал с Театром Антона Чехова, написав музыку для спектаклей Леонида Трушкина «Поза для эмигранта», «Ужин с дураком», «Шалопаи, или Кин IV», «Смешанные чувства», «Морковка для императора». Также писал музыку к фильмам; его последними работами как кинокомпозитора стали «Эффект домино» и «Наваждение».
Скоропостижно скончался от сердечного приступа на своей даче 29 мая 2012 года. На прощании с Марком Минковым в Доме Кино выступили Алла Пугачёва, Иосиф Кобзон, Юрий Энтин, Александр Градский, Геннадий Хазанов, председатель Союза композиторов России Владислав Казенин, Анатолий Кролл и другие. Похоронен после кремации в Москве на Востряковском кладбище.